Množina je soubor libovolných prvků. Číselná množina je soubor čísel. Množiny
značíme velkými tiskacími písmeny př. A, B, C a jejich prvky zapisujeme do
složených závorek.
Př.A = {1, 2, 3} je označení pro množinu A
která obsahuje čísla 1, 2, 3. V zápisu nezáleží na pořadí prvků takže platí {1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {3, 2, 1}
atd.
Množina
Množinu si můžeme představit jako uzavřený pytel který obsahuje nějaké prvky
- objekty.
Průnik
Průnik značíme ∩. Průnik dvou množin je vlastně také množina,
prvků které jsou uvnitř obou množin.
Př. Množina
A = {1, 2, 3},
B = {2, 3, 4, 5}, obě množiny obsahují
čísla 2 a 3, tedy jejich průnik
A∩B = {2, 3}.
Matematický zápis je A∩B={x | x∈A ∧ x∈B}slovy: A průnik B je množina takových prvků x kde x je prvkem množiny A a
zároveň x je prvkem množiny B.
Sjednocení
Sjednocení značíme ∪. Sjednocení dvou množin je také množina,
která představuje všechny prvky z obou množin.
Př. Množina
A = {1, 2, 3, 7},
B = {2, 3, 4, 5}, jejich sjednocení je
množina všech jejich prvků dohromady A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
Matematický zápis je A∪B={x | x∈A ∨ x∈B}slovy: A sjednocení s B je množina takových prvků x kde x je prvkem množiny A nebo x
je prvkem množiny B.
Průnik a sjednocení značení
Podle obrázku průniku množin si můžeme zapamatovat jak značit průnik.
Na obrázku vidíme, že průnik vytváří nahoře tvar obráceného U tedy podobný tvar jako ∩.
Prázdná množina
Speciální případ množiny je prázdná množina, která se označuje ∅.
Prázdná množina neobsahuje žádný prvek.
Př. Průnik množin
A a B je prázdná množina. A = {1} B={2, 3} -> A∩B = ∅
Intervaly
Interval je množina čísel. Je charakteristická tím že se vždy udává se dvěma hraničními body.
Otevřený interval - jeho krajní body nepatří do intervalu, značíme kulatými závorkami () Uzavřený interval - jeho krajní body jsou součástí intervalu, značíme
hranatými závorkami ⟨⟩ nebo []
Interval
Intervaly jsou opět nějaké pytle čísel, které mají většinou omezený obsah.
To omezení odkud kam intervaly dosahují nám určují krajní body.
Př. Graficky znázorněte otevřený interval
(0, 3). Krajní body 0 a 3 do této množiny
nepatří. Značíme prázdným kolečkem kolem bodů.
Obrázek
Průnik intervalů
Př. Máme interval
(1, 5) a interval
⟨2, 7⟩, průnik intervalů jde dobře vidět
po znázornění na číselné ose jako společná vyznačená část. Průnik je tedy ⟨2, 5)
Obrázek
Sjednocení intervalů
Př. Máme interval
(-∞, 20⟩ a (10, 40⟩
, sjednocení je vlastně celá část co je na ose vyznačená. Tedy
(-∞, 40⟩.
Obrázek
Příklady
Řešení
V množině D jsou všechna čísla větší než 2, D = {3, 4, 5, 6, 7, ... , ∞} . Jediný společný prvek všech množin je číslo 3 . Průnikem množin je množina {3}
Řešení
Průnik je množina prvků, které jsou obsaženy uvnitř obou množinách. A∩B = {2, 4, 5}
Řešení
Sjednocení je množina prvků, která obsahuje všechny prvky ze všech množin. C∪D∪E = {1, 2, 3, ... , ∞}
Hledáme průnik, tedy tu část která je pro oba intervaly společná. Při volení jakou závorku dát na který bod má vždycky přednost to, že do některé množiny bod nepatří, jestliže někam nepatří jako v tomto případě bod 5 patří do intervalu M ale nepatří do intervalu N takže volíme kulatou závorku. M∩N = (5, 7)
Řešení
Hledáme sjednocení, tedy všechny body z M i N. M∪N = (2, 9)
Řešení
Z obrázku vidíme, že oba intervaly nemají žádný společný bod. Průnikem je tedy prázdná množina. M∩N = ∅
Řešení
Z obrázku vidíme, že oba intervaly nemají žádný společný bod. Sjednocením jsou tedy obě množiny dohromady. M∪N = (-8, -1)∪⟨1, 5)
