Nabifli | Maturita 2022 A

Maturita - řešení příkladů

Maturita 2022 Jaro

Časový limit pro řešení didaktického testu je 135 minut

Číselné obory

1 Je dán interval A a množina B

Určete průnik A a B.

Řešení

2 Pro upravte na mocninu o základu 4.

Řešení

3 Pouze pětina vyprodukovaných PET lahví se nevytřídí.
Z vytříděných PET lahví se 70% recykluje.
Kolik procent vyprodukovaných PET lahví se recykluje

Řešení

Celkový počet vyprodukovaných PET lahví .........
Vytříděných PET .........
Recyklovaných PET .........

4 K je přirozené číslo ()
M je o 4 větší než K
P je aritmetický průměr K a M
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (1-3), zda je pravdivé
1) Pro každé je číslo M sudé
2) Pro každé je součet K + M dvakrát větší než P
3) Pro každé je součet K + M větší než 2P

Řešení

1) Pro liché K je M také liché nepravdivé tvrzení

2) pravdivé tvrzení

3) Z předchozího příkladu víme, že v tomto vztahu platí rovnost, nerovnost tedy neplatí nepravdivé tvrzení

Algebraické výrazy

5 Pro zjednodušte výraz

Řešení

6 Řešte v oboru ℝ

Řešení

ze zadaní vyplívá, že
celou rovnici vynásobíme x(x+2)

Nejdříve určíme diskriminant

Diskriminant je kladný máme tedy 2 řešení

Pro tento kořen výraz nedává smysl

Rovnice a nerovnice

7 Jedna korunová mince váží 3.6 gramu a jedna pětikorunová mince váží 4.8 gramu. V kasičce jsou pouze korunové a pětikorunové mince. Dohromady mají hodnotu 81 korun a váží 120 gramů. Vypočtěte celkový počet mincí v kasičce.

Řešení

Počet korunových mincí označíme k a počet pětikorunových mincí p
Sestavíme soustavu rovnic

|*3.6

8 Pro kterou z následujících nerovnic je množinou všech řešení v oboru ℝ prázdná množina?
A)

Řešení

Funkce

9 U funkce určete obě souřadnice průsečíku se souřadnicovou osou y.

Řešení

Když chceme získat průsečík s osou y, musíme za x dosadit 0.

10 V kartézské soustavě souřadnic Oxy je sestrojen graf logaritmické funkce
jejímž definičním oborem je interval

Obrázek

Graficky znazorněné zadaní logaritmické funkce

A) Určete základ a logaritmické funkce f
B) Určete hodnotu proměnné x pro kterou

Řešení

A) Z grafu vidíme, že .

B) Dosadíme náš základ

11 Pro platí:

Jaká je hodnota tg x ?

Řešení

Víme že když přičteme získáme

Posloupnosti a finanční matematika

12 V aritmetické posloupnosti s diferencí je šedesátý člen
A) Určete první člen
B) Pořadí k nejmenšího kladného členu posloupnosti

Řešení

A) U aritmetické posloupnosti platí

B)

Nejmenší k které splňuje nerovnost je k = 38

13 Robůtek se pohybuje po spirále. Nejkratší dobu stráví na prvním oblouku spirály. Časy strávené na dalších obloucích se postupně prodlužují. Rozdíl časů strávených na kterýchkoli dvou po sobě jdoucích obloucích je konstantní. První dva oblouky překoná robůtek za 32 sekund, samotný čtvrtý oblouk také za 32 sekund. Vypočtěte čas, který robůtek stráví na pátém oblouku.

Řešení

Rozdíl časů dvou po sobě jdoucích obloucích je konstantní, jedná se o aritmetickou posloupnost. Ze zadání víme, že a

Sestavíme soustavu rovnic

|*2

sekund

14 V geometrické posloupnosti je třetí člen a čtvrtý člen je o 3 menší než třetí člen.
Jaký je součet prvních tří členů uvedené geometrické posloupnosti

Řešení

Planimetrie

15 Čtverec ABCD je dvěma úsečkami rozdělen na dva menší tmavé čtverce a dva shodné bílé obdélníky. Obvod jednoho bílého obdélníku je 22cm.

Obrázek

Graficky znazorněné zadaní planimetrie Čtverec

Vypočtěte obsah čtverce ABCD.

Řešení

Obsah čtverce je

16 Pozemek má tvar pravoúhlého lichoběžníku s výškou 24m a základnami délek 285m a 275m. Pozemek je rozdělen na 8 parcel o stejné výměře. Prvních sedm parcel tvoří shodné obdélníky, poslední parcela má tvar pravoúhlého lichoběžníku.

Obrázek

Graficky znazorněné zadaní planimetrie parcely

A) Vypočtěte výměru jedné parcely
B) Vypočtěte chybějící délku x strany pozemku
C) Vypočtěte obvod poslední parcely

Řešení

Stereometrie

17 Tentýž obdélník je rozvinutým pláštěm prvního i druhého rotačního válce. Délky sousedních stran obdélníku jsou v poměru 5:4. Výška prvního válce se shoduje s kratší stranou obdélníku, výška druhého válce s delší stranou obdélníku.

Obrázek

Graficky znazorněné zadaní stereometrie valce

V jakém poměru je objem prvního válce ku objemu druhého válce?

Řešení

Délku kratší strany obdélníku označíme , délka delší strany obdélníku je tedy .
Objem válce je poloměry obou podstav jsou ve stejném poměru jako strany obdélníku

Analytická geometrie

18 U funkce určete vrchol funkce

Řešení

Jedná se o kvadratickou funkci, grafem je tedy parabola. Kořeny funkce odvodíme ze zadání a

x-ová souřadnice vrcholu paraboly leží přesně uprostřed kořenů.

19 Ke každému bodu A dopočítejte chybějící souřadnice
A) Jsou dány body a . Střed S úsečky AB má obě souřadnice stejné.
B) Jsou dány body , a . Přímky AB a BC jsou na sebe kolmé.

Řešení

A) Dopočítáme si

Teď můžeme dopočítat , víme že

B) Směrové vektory přímek AB a BC označíme

Skalární součin směrových vektorů přímek, které jsou na sebe kolmé, je roven 0

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika

20 Pás obsahuje devět po sobě jdoucích číslic od 1 do 9.

Zakrytím tří číslic vytvoříme šestimístné číslo, např.:

A) Kolik různých šestimístných čísel lze takto vytvořit
B) Kolik z těchto šestimístných čísel má na místě desítek číslici 7

Řešení

A) Počet všech možností, jak zakrýt 3 číslice z devíti

B) Sedmičku necháme stát na místě desítek, za ní tedy musíme zakrýt jedno číslo ze dvou a před ní 2 čísla z 6ti

21 Letadlem do Bruselu cestovaly pouze dospělé osoby. Mezi cestujícími bylo o třetinu více žen než mužů. Každý cestující měl pouze jedno zavazadlo. Zavazadla všech cestujících byla zvážena: aritmetický průměr hmotností zavazadel žen byl 18.3kg a zavazadel mužů 14.8kg.
Jaký byl aritmetický průměr hmotností zavazadel všech cestujících v letadle?

Řešení

Poměr počtu žen ku počtu mužů cestujících v letadle byl

22 V balíčku je 10 karet, z nichž právě 4 karty jsou esa.
Z balíčku náhodně vybereme 5 karet.
Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými pěti kartami budou právě 3 esa?

Řešení

Nejdříve si vypočteme počet prvků v množině všech možných výsledků, z 10ti karet vybereme 5

Pravděpodobnost jevu rovná počtu výsledků příznivých děleno počet všech možných výsledků.

Určíme si počet příznivých výsledků, musejí být vybrána 3 ze 4 es v balíčku a k nim 2 jiné karty ze 6 možných.

Pravděpodobnost bude:

Předchozí

Následující